Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse: Bernhard Riemann, 1859
This is the manuscript in which Riemann formulated his famous "hypothesis."
It was first published in Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859
The manuscript resides in the archives of the
Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek
Göttingen. The photos of Riemann's manuscript on this site
are courtesy of the Göttingen Library. German transcription and
English translation courtesy of David Wilkins.
1 :
Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer
gegebenen Grosse. ...
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2 :
Diese Gleichung giebt nun den Werth der Function ζ(s) für jedes beliebige
complexe s und zeigt, dass sie einwerthig und für alle endlichen Werthe von
s, ausser 1, endlich ist, so wie auch, dass sie verschwindet, wenn s gleich einer
negativen geraden Zahl ist.
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3 :
Diese Function ist für alle endlichen Werthe von t endlich, und lasst sich
nach Potenzen von tt in eine sehr schnell convergirende Reihe entwickeln.
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</p>
<span>4 :</span>
<p class="title">Man
findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzeln innerhalb dieser
Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind.
Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich
habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen
vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er
für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.</p>
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<p class="comment">
This is where Riemann states his hypothesis.
</p>
<span>5 :</span>
<p class="title">Im ersten Falle bestimmt sich die Integrationsconstante, wenn man den
reellen Theil von β negativ unendlich werden lässt; im zweiten Falle erhält das Integral von 0 bis x um 2πi verschiedene Werthe,</p>
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</p>
<span>6 :</span>
<p class="title">In der That hat sich bei der von Gauss und Goldschmidt vorgenomme-
nen und bis zu x = drei Millionen fortgesetzten Vergleichung von Li(x) mit
der Anzahl der Primzahlen unter x diese Anzahl schon vom ersten Hundert-
tausend
</page></p>
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<b>|</b> <a href="german/6.pdf">German</a>
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<p class="comment">
</p>
<p>
<a href ="http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Official_Problem_Description.pdf">Article by Enrico Bombieri</a> |
<a href ="http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Sarnak_RH.pdf">Article by Peter Sarnak</a>
<br />
<a href ="http://claymath.msri.org/riemannhypothesis.mov">Lecture by Jeff Vaaler at the University of Texas (video)</a>
<br />
German transcription (<a href ="http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/">David Wilkins</a>): <a href ="german/Zeta.pdf">PDF</a> |
<a href ="german/Zeta.tex">latex</a>
<br />
English translation (<a href ="http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/">David Wilkins</a>): <a href ="english/EZeta.pdf">PDF</a> | <a href ="english/EZeta.tex">latex</a>
<br />
<a href ="http://www.emis.de/classics/Riemann/">The Mathematical Papers of Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)</a>
</p>
</div>
</body>
</html>
